[2014년 백마고]

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[1학년 1학기 중간]

다항식 [eqn: A= 3x^2 +2xy+y^2], [eqn: B= x^2 +xy-2y^2]에 대하여 [eqn: A-2B]를 간단히 하면?

①

① [eqn: x^2 +5y^2]	② [eqn: x^2 -3y^2]	③ [eqn: 5x^2 +3y^2]

④ [eqn: x^2 +4xy+5y^2]	⑤ [eqn: 5x^2 +4xy+5y^2]

[eqn: x^2 +ax+b=(x-1)(x+5)]이 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은?

①

① [eqn: -20]	② [eqn: -10]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 20]

다항식 [eqn: (x^2 - x)(x^2 - x-5)-6]을 인수분해하면?

③

① [eqn: (x+1)(x-6)]	② [eqn: (x+2)(x-3)]

③ [eqn: (x+2)(x-3)(x^2 -x+1)]	④ [eqn: (x+1)(x-6)(x^2 -x+1)]

⑤ [eqn: (x+1)(x+2)(x-3)(x-6)]

복소수 범위에서 [eqn: x^3 = -27]의 세 근의 합은?

③

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: 0 le x le 2]일 때, 이차함수 [eqn: y=-2x^2 - 4x+3]의 최댓값은?

②

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

복소수 [eqn: z]가 [eqn: z+ barz = 4], [eqn: z+ barz i = 3+3i]를 만족시킬 때, [eqn: z barz]의 값은? (단, [eqn: barz]는 [eqn: z]의 켤레복소수)

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

이차식 [eqn: x^2 +4x+7]을 복소수 범위에서 인수분해한 인수를 각각 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: f(x)+g(x)]를 구하면?

②

① [eqn: 2x+5]	② [eqn: 2x+4]	③ [eqn: 2x+3]

④ [eqn: 2x+2]	⑤ [eqn: 2x+1]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 +3x+2a-1=0]이 서로 다른 두 허근을 갖도록 하는 자연수 [eqn: a]의 최솟값은?

④

① [eqn: 5]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 1]

복소수 [eqn: z=2x(1-i)+4(2-i)]에 대하여 [eqn: z^2]이 음의 실수가 되도록 하는 실수 [eqn: x]의 값은?

①

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[그림[eqn: 1]]의 연산장치는 다항식 [eqn: f(x)]가 입력되면 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 몫 [eqn: Q(x)]와 나머지 [eqn: R]이 나오는 연산장치이다. 예를 들어 다항식 [eqn: f(x) = x^2 +x+3]을 [그림[eqn: 1]]의 연산장치에 입력하면 [그림[eqn: 2]]와 같다. 다항식 [eqn: x^3 +5x^2 -3x-2]를 [그림[eqn: 1]]의 연산장치에 입력하여 나온 몫을 다시 [그림[eqn: 1]]의 연산장치에 입력할 때 나오는 나머지는?

④

① [eqn: -4]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x+1)]로 나눈 나머지가 [eqn: 3], [eqn: (x-2)]로 나눈 나머지가 [eqn: -3]이다. [eqn: f(x)]를 [eqn: (x+1)(x-2)]로 나눈 나머지를 [eqn: R(x)]라 할 때, [eqn: R(4)]의 값은?

⑤

① [eqn: 8]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -7]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 11]인 사분원에 내접하는 직사각형 [eqn: rmOPQR]의 넓이가 [eqn: 24]일 때, [eqn: rm bar{AP} + bar{PR} + bar{RB}]의 값은?

③

① [eqn: 18]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 22]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 - (2k+3)x+k-1=0]의 두 근의 차가 [eqn: 1]이 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 합은?

②

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: x]에 대한 이차함수 [eqn: y=x^2 -2(a-2k)x+a^2 - 2k+4k^2]의 그래프가 실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 [eqn: x]축에 접할 때, 실수 [eqn: a]의 값은?

④

① [eqn: -1]	② [eqn: - 1over2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 1]

[eqn: x]에 대한 삼차식 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(0) = 3],
[eqn: f(x+1) = f(x)+6x^2]을 만족할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

④

ㄱ. [eqn: f(1) = 3]

ㄴ. [eqn: f(x) -3=0]의 세 근의 합은 [eqn: 3over2]이다.

ㄷ. [eqn: f(x)]를 [eqn: (2x+1)]로 나눈 나머지는 [eqn: 3over2]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

이차함수 [eqn: y=-x^2 +3x+4]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라고 하자. 점 [eqn: {rmP}(a,```b)]가 이차함수 [eqn: y=-x^2 +3x+4]의 그래프를 따라 점 [eqn: rmA]에서 점 [eqn: rmB]까지 움직일 때, [eqn: 3a+b]의 최댓값과 최솟값의 합은?

③

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

이차함수 [eqn: y=x^2 -2x-a]의 그래프와 직선 [eqn: y=-2bx-7]이 만나지 않도록 하는 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의 최댓값은?

④

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

서술형

직선 [eqn: y=x+2]는 이차함수 [eqn: y=x^2 - k]의 그래프와는 서로 다른 두 점에서 만나고, 이차함수 [eqn: y=x^2 -x-3k+15]의 그래프와는 만나지 않는다. 이때 정수 [eqn: k]의 개수를 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오.

[eqn: 6]

다음은 다항식 [eqn: x^10 -1]을 [eqn: (x-1)^2]으로 나누었을 때의 나머지 [eqn: R(x)]에 대하여 [eqn: R(10)]의 값을 구하는 과정이다. 물음에 답하시오.

(1)

[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: -1]
		[eqn: 1]	[eqn: 1]		[eqn: 1]	[eqn: 1]
	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]		[eqn: 1]	[eqn: 0]

(2) ㉠에 의해 양변을 [eqn: (x-1)]로 나누면
[eqn: x^9 + x^8 + cdots+x+1 = (x-1) Q(x) + a]
[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: a=10]이므로 [eqn: R(x) = 10x-10]이다.
따라서 [eqn: R(10 ) = 100-10=90]이다.

[eqn: x^10 -1]을 [eqn: (x-1)^2]으로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)],

나머지를 [eqn: R(x) = ax+b]([eqn: a], [eqn: b]는 실수)라 하자.

[eqn: x^10 -1 = (x-1)^2 Q(x) +ax+b]으로 나타낼 수 있다.

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: 0=a+b]이므로

[eqn: x^10 -1=(x-1)^2 Q(x) +a(x-1)]이다.

[eqn: x^10 -1=(x-1)(x^9 +x^8 +cdots+x+1)] … ㉠

이므로,

㉡

(1) 조립제법을 이용하여 ㉠이 성립함을 보이시오.

(2) ㉡에 들어갈 알맞은 풀이과정과 결과를 서술하시오.

이차함수는 우리 생활과 밀접한 관련이 있고, 이차함수의 그래프인 포물선은 주변에서 흔히 찾아볼 수 있다. 다음 그림과 같이 잠베이 강에 있는 빅토리아 폭포를 가로 지르는 다리 또한 포물선 모양으로 만들어져 있으며, 이 다리는 짐바브웨와 잠비아 두 나라를 연결해 주며 많은 사람들이 이 길을 통해 국경을 지나게 된다.

백마고 본관과 별관 사이에 빅토리아 폭포의 다리 모양과 같은 아치형 다리를 만들려고 한다. 본관과 별관 사이는 같은 아치형 다리를 만들려고 한다. 본관과 별관 사이는 [eqn: 4rmm]이고, 아치는 지면에서 [eqn: 2rmm] 위에서 건물과 만난다고 할 때, 위 조건을 만족시키는 다리와 아치의 함수를 각각 만들고, 함수를 만드는 과정을 서술하시오. (단, 다리는 지면과 평행하고 지면으로 부터 [eqn: 7rmm]에서 [eqn: 9rmm]사이에 존재한다.)

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} -4a+2```` LEFT ( 단,`- {7} over {4} <a<`- {5} over {4} RIGHT )]

[2014년 백마고]

[1학년 1학기 중간]

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